可以通过向量分析来证明。

假设物体在平抛运动中，其速度矢量为v，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y。

根据平抛运动的定义，物体在竖直方向上受到重力的作用，速度逐渐减小，最终落地。而在水平方向上，物体受到的是惯性的作用，速度不变。因此，在任意时刻，物体的速度矢量都可以表示为一个水平方向的分量vx和一个竖直方向的分量vy。

根据向量的性质，速度矢量的反向延长线必过速度矢量的起点，即物体所在的位置。因此，我们只需要证明速度矢量的反向延长线过水平位移的中点即可。

假设物体在t时刻的位置为P，速度矢量的起点为O，水平位移的中点为M。则OM = 1/2x，OP = vt，其中v为物体在t时刻的速度大小。

根据向量的加法，可以得到OP = OM + MP，即vt = 1/2x + MP。因此，MP = vt - 1/2x。

又因为速度矢量的反向延长线过O点，并且与速度矢量垂直，因此可以表示为一个竖直方向的分量-vy和一个水平方向的分量-vx。

根据向量的性质，竖直方向的分量-vy等于物体在t时刻下落的距离，即vyt = 1/2gt^2，其中g为重力加速度。因此，vy = gt/2。

又因为速度矢量的大小等于物体在t时刻的速度大小，即|v| = √(vx^2 + vy^2)。因此，vx = √(|v|^2 - vy^2)。

根据三角函数的性质，可以得到MP = OM * tanθ，其中θ为速度矢量与水平方向的夹角。

因此，tanθ = MP / OM = (vt - 1/2x) / (1/2x) = 2vt/x - 1。

又因为vx / vy = tanθ，可以得到vx = vy * tanθ = vy * (2vt/x - 1)。

代入vy = gt/2和vx = √(|v|^2 - vy^2)，可以得到：

√(|v|^2 - (gt/2)^2) = (2vt/x - 1) * gt/2

化简可得：

4x^2 = (4vt - gx)^2

展开可得：

16x^2 = 16v^2t^2 - 8gxv^2t + g^2x^2

移项可得：

8gxv^2t = 16v^2t^2 - 16x^2 + g^2x^2

因此，可以得到：

x = 1/2 * v^2/g

即水平位移与物体的初速度和重力加速度有关，与时间无关。因此，在任意时刻，速度矢量的反向延长线必过水平位移的中点。