设平抛运动的初速度为$v_0$，角度为$ heta$，重力加速度为$g$，运动时间为$t$，水平位移为$x$，竖直位移为$y$。则有：

$$
\begin{cases}
x=v_0\cos heta t \\
y=v_0\sin heta t-\frac{1}{2}gt^2
\end{cases}
$$

在任一时刻$t$，速度的大小为$v=\sqrt{v_0^2-gt^2\sin^2 heta}$，速度的方向角为$\alpha=\arctan\frac{gt\sin heta}{v_0}$。设速度方向的反向延长线与水平方向的交点为点$P$，水平位移的中点为点$M$，则有：

$$
\angle PMO=\frac{\pi}{2}-\alpha
$$

其中$O$为抛体的起点。因为$\angle POM=\frac{\pi}{2}$，所以$\angle PMO+\angle POM=\frac{\pi}{2}$，即$\angle POM=\alpha$。又因为$\angle POM$和速度方向的夹角相等，所以$\angle POM=\alpha=\arctan\frac{gt\sin heta}{v_0}$。因此，$PM=\frac{y}{ an\angle POM}=\frac{v_0\sin heta t-\frac{1}{2}gt^2}{\frac{gt\sin heta}{v_0}}=\frac{2v_0^2}{g}\cos heta\sin heta=\frac{v_0^2}{g}\sin2 heta$。

又因为$OM=x/2=\frac{v_0\cos heta t}{2}$，所以要证明的就是$\angle POM=\frac{\pi}{2}$。根据余弦定理，有：

$$
\begin{aligned}
PM^2+OM^2&=\left(\frac{v_0^2}{g}\sin2 hetaight)^2+\left(\frac{v_0\cos heta t}{2}ight)^2 \\
&=\frac{v_0^4}{g^2}\sin^22 heta+\frac{v_0^2}{4}\cos^2 heta t^2 \\
&=\frac{v_0^2}{4}\left(\frac{4v_0^2}{g^2}\sin^22 heta+\cos^2 heta t^2ight) \\
&=\frac{v_0^2}{4}\left(\frac{4v_0^2}{g^2}\sin^22 heta+\frac{4x^2}{v_0^2}ight) \\
&=\frac{v_0^2}{g^2}\left(v_0^2\sin^22 heta+x^2ight)
\end{aligned}
$$

又因为$y=\frac{v_0^2}{2g}\sin^2 heta$，所以$v_0^2\sin^22 heta=2gy$。代入上式得：

$$
PM^2+OM^2=\frac{v_0^2}{g^2}\left(2gy+x^2ight)
$$

因为$y=\frac{1}{2}gt^2-\frac{v_0^2}{2g}\sin^2 heta$，所以$2gy+x^2=\frac{v_0^2}{g^2}\left(2gt^2-\frac{v_0^2}{g}\sin^2 hetaight)+x^2=t^2\left(\frac{v_0^2}{g}-\frac{gx^2}{v_0^2}ight)+x^2$。因为$t=\frac{x}{v_0\cos heta}$，所以$t^2=\frac{x^2}{v_0^2\cos^2 heta}$。代入上式得：

$$
PM^2+OM^2=\frac{x^2}{\cos^2 heta}=\left(2OMight)^2
$$

因此，根据勾股定理可知$ riangle POM$为直角三角形，即$\angle POM=\frac{\pi}{2}$。证毕。