证明平抛运动中速度反向延长线与初速度方向交点平分水平距离，可以使用向量分解的方法。

首先，将初速度向量分解为水平方向和竖直方向的分量，记为$v_{0x}$和$v_{0y}$。因为平抛运动中水平方向的速度是恒定的，所以$v_{0x}$是一个常数。

接下来，考虑速度向量反向延长线与初速度方向交点的位置。设交点到起点的水平距离为$d$，竖直距离为$h$。根据平抛运动的公式，竖直方向的运动可以表示为$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$t$为运动时间。将$t$表示为$h$的函数，得到$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$。

将$t$代入水平方向的运动公式，得到$d=v_{0x}t=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}$。将$h$用$t$表示的式子代入，得到$d=v_{0x}\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{h}$。

现在考虑证明反向延长线与初速度方向交点的位置在水平方向上与起点的距离是$d/2$。根据向量分解，速度向量可以表示为$v=v_{0x}\hat{i}+(v_{0y}-gt)\hat{j}$，其中$\hat{i}$和$\hat{j}$分别是水平和竖直方向的单位向量。

反向延长线的方向是$-v$，即$-v=-v_{0x}\hat{i}-(v_{0y}-gt)\hat{j}$。因为反向延长线与初速度方向交点在竖直方向上的位置是$h$，所以可以表示为$-v=-v_{0x}\hat{i}+(v_{0y}+gt)\hat{j}$。

将$-v$和$v$相加，得到$0=(2v_{0y}-gt)\hat{j}$。因为重力加速度$g$是一个正数，所以$2v_{0y}-gt=0$，即$v_{0y}=\frac{1}{2}gt$。

将$v_{0y}$代入$d=v_{0x}\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{h}$，得到$d=v_{0x}\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{\frac{1}{2}gt}=\sqrt{2}v_{0x}\sqrt{\frac{t}{g}}$。

将$t$用$h$表示的式子代入，得到$d=2v_{0x}\sqrt{\frac{h}{g}}$。因此，反向延长线与初速度方向交点的位置在水平方向上与起点的距离是$d/2$，即平分水平距离。证毕。