根据我国相关法律规定，在公示催告期届满，且无人申报权利的情况下，申请人可以按照以下步骤进行：

1. 提交申请：申请人需向法院提交申请，请求法院根据公示催告程序作出判决。申请时应附有以下材料：
- 公示催告申请书；
- 公示催告期间无人申报权利的证明；
- 申请人身份证明及有关权利依据。

2. 法院审理：法院收到申请后，将依法对申请材料进行审查。若符合法律规定，法院将作出判决，确认申请人的权利。

3. 判决生效：法院作出的判决生效后，申请人可以依据该判决要求执行相应的权利。例如，在继承权纠纷中，判决生效后，申请人可以要求继承遗产。

4. 执行程序：若申请人的权利涉及财产权益，可以在判决生效后，向法院申请执行程序，以实现其权利。

5. 无人异议：在公示催告期间，若无人提出异议，申请人可以要求法院根据公示催告程序直接作出判决。

总结：

当公示催告期届满且无人申报权利时，申请人可以向法院提交申请，请求法院作出判决确认其权利。在此过程中，申请人需遵循法律规定，提交相关材料，并耐心等待法院审理。一旦判决生效，申请人即可依据判决执行相应的权利。

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