1. 某公司有100名员工，其中男性员工有60人，女性员工有40人。如果从中随机选取10名员工，恰好有6名男性和4名女性的概率是多少？

解答：根据二项分布的公式，设X为选取的10名员工中男性的数量，p为男性员工在总员工中所占比例，则有：

$$P(X=6)=\binom{10}{6}p^6(1-p)^4$$

其中，$\binom{10}{6}$表示从10名员工中选取6名男性的组合数，$p=\frac{60}{100}=0.6$。

代入计算得：

$$P(X=6)=\binom{10}{6}(0.6)^6(0.4)^4=0.2508$$

因此，恰好有6名男性和4名女性的概率为0.2508。

2. 某城市的居民年收入符合正态分布，均值为50000元，标准差为10000元。如果从中随机选取一个居民，他的收入高于60000元的概率是多少？

解答：设X为居民的年收入，符合正态分布$N(50000,10000^2)$。则有：

$$P(X>60000)=1-P(X\leq 60000)$$

根据标准正态分布的表格，$P(Z\leq\frac{60000-50000}{10000})=P(Z\leq 1)=0.8413$，其中Z为标准正态分布的随机变量。

因此，$P(X>60000)=1-0.8413=0.1587$，即收入高于60000元的概率为0.1587。

3. 某工厂生产的产品质量符合正态分布，均值为80分，标准差为5分。如果从中随机抽取一个样本，样本容量为25，平均得分高于82分的概率是多少？

解答：设X为单个产品的得分，符合正态分布$N(80,5^2)$。则样本平均得分$\bar{X}$也符合正态分布$N(80,\frac{5^2}{25})=N(80,1)$。

因此，样本平均得分高于82分的概率为：

$$P(\bar{X}>82)=P(\frac{\bar{X}-80}{\frac{5}{\sqrt{25}}}> \frac{82-80}{\frac{5}{\sqrt{25}}})=P(Z>2)$$

其中，Z为标准正态分布的随机变量。

根据标准正态分布的表格，$P(Z>2)=0.0228$。

因此，样本容量为25，平均得分高于82分的概率为0.0228。

4. 某超市销售的一种商品的日销售量符合泊松分布，平均每天销售20个。如果某天销售量为25个的概率是多少？

解答：设X为某天销售的商品数量，符合泊松分布$P(\lambda)$，其中$\lambda$为平均每天销售的商品数量。

因为平均每天销售20个，所以$\lambda=20$。则有：

$$P(X=25)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}=\frac{20^{25}}{25!}e^{-20}=0.044$$

因此，某天销售量为25个的概率为0.044。

5. 某地区的居民身高符合正态分布，均值为170厘米，标准差为5厘米。如果从中随机抽取一个样本，样本容量为36，平均身高在168厘米到172厘米之间的概率是多少？

解答：设X为单个居民的身高，符合正态分布$N(170,5^2)$。则样本平均身高$\bar{X}$也符合正态分布$N(170,\frac{5^2}{36})=N(170,\frac{25}{36})$。

要求样本平均身高在168厘米到172厘米之间的概率，可以转化为求标准正态分布的随机变量Z在$\frac{168-170}{\frac{5}{\sqrt{36}}}$和$\frac{172-170}{\frac{5}{\sqrt{36}}}$之间的概率之差。

即：

$$P(168<\bar{X}<172)=P(\frac{168-170}{\frac{5}{\sqrt{36}}}
根据标准正态分布的表格，$P(-2.4
因此，样本容量为36，平均身高在168厘米到172厘米之间的概率为0.9544。