本题为P57-3。

解：由于$\angle AOC=90^\circ$，所以$\angle AOB=90^\circ$，$\angle BOC=90^\circ$，即$ riangle AOB$和$ riangle BOC$均为直角三角形。

设$AB=x$，则$BC=2x$，$AC=\sqrt{5}x$。

由勾股定理得：

$$\begin{aligned} OB^2&=OA^2+AB^2 \\ &=2^2+x^2 \\ &=x^2+4 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} OC^2&=OB^2+BC^2 \\ &=(x^2+4)+(2x)^2 \\ &=5x^2+4 \end{aligned}$$

所以$AC^2=5x^2=OC^2-4$，即$OC=\sqrt{5}x+2$。

故$AC+OC=\sqrt{5}x+\sqrt{5}x+2=2\sqrt{5}x+2$。

当$x=1$时，$AC+OC=2\sqrt{5}+2$。

所以所求的值为$2\sqrt{5}+2$。