非常感谢您的信任和支持。以下是这几道数学题的详细解答：

1. 求解方程：$\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}=2$

首先，由于根号内的式子必须非负，所以要求 $2x-1\geq 0$ 和 $6-2x\geq 0$，解得 $x\in[\frac{1}{2},3]$。

接下来，我们可以利用平方的方法来消去根号。将方程两边平方，得到：

$$2x-1+2\sqrt{(2x-1)(6-2x)}+6-2x=4$$

化简一下，得到：

$$\sqrt{(2x-1)(6-2x)}=1$$

再次平方，得到：

$$(2x-1)(6-2x)=1$$

展开化简，得到二次方程：

$$4x^2-16x+13=0$$

利用求根公式，解得：

$$x=2+\frac{\sqrt{3}}{2},2-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

但是，我们需要验证这两个解是否满足原方程的定义域。经过计算，我们发现 $2+\frac{\sqrt{3}}{2}otin[\frac{1}{2},3]$，因此舍去，最终的解为 $x=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 已知 $a,b,c$ 均为正整数，且满足 $a^2+b^2=c^2$，求所有满足 $a+b+c=1000$ 的三元组 $(a,b,c)$。

根据勾股定理，我们可以列出以下条件：

$$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b+c=1000\end{cases}$$

将第二个式子变形，得到：

$$c=1000-a-b$$

代入第一个式子，得到：

$$a^2+b^2=(1000-a-b)^2$$

展开化简，得到：

$$a^2+b^2=10^6-2000a-2000b+2ab$$

移项整理，得到：

$$(a+b-500)^2=250000-c^2$$

因为 $a,b,c$ 均为正整数，所以 $c$ 的取值范围为 $1\leq c<500$。因此，我们只需要枚举 $c$，计算出所有满足条件的 $a,b$ 即可。

具体来说，我们可以枚举 $c$，然后在 $1\leq a+b<1000-c$ 的范围内，计算出所有满足 $(a+b-500)^2=250000-c^2$ 的 $a,b$。最终，所有满足条件的三元组 $(a,b,c)$ 即为答案。

3. 在 $xy$ 平面内，有 $n$ 条直线，其中任意两条直线不平行，且没有三条直线共点。问这些直线将平面分成了多少个部分。

首先，我们考虑 $n=1,2,3$ 的情况。当 $n=1$ 时，直线将平面分成了 $2$ 个部分；当 $n=2$ 时，直线将平面分成了 $4$ 个部分；当 $n=3$ 时，直线将平面分成了 $7$ 个部分。

接下来，我们考虑 $n$ 增加 $1$ 后，新加入的一条直线将如何改变平面的分割情况。

假设新加入的直线与已有的 $n$ 条直线都不平行，也不共点。那么，新加入的直线将会与已有的 $n$ 条直线相交，将平面分成若干个部分。具体来说，新加入的直线将与已有的 $n$ 条直线产生 $n$ 个交点，将平面分成 $n+1$ 个区域。

但是，我们需要注意到，新加入的直线可能会与已有的某条直线平行，从而不会产生交点。此时，新加入的直线将不会改变平面的分割情况，平面的区域数目仍然为 $f(n)$。因此，我们可以得到递推式：

$$f(n+1)=f(n)+n+1$$

其中，$f(1)=2$。利用递推式，我们可以依次求出 $f(2),f(3),\cdots,f(n)$，最终得到 $f(n)$ 的值。