人教版高中数学A版书必修2习题4.2B组第四题答案，要过程，快
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知识与能力同步测控题
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题目：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，求证：$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{9}{x+y+z+3}$，其中$x,y,z$为正实数。
解法：
根据题目中的不等式，我们可以想到使用柯西不等式。
首先，我们将$f(x)$进行变形，得到：
$$f(x)=\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2(x/2+1/2)}\geq\dfrac{4}{(x/2)+1+1+1}=\dfrac{4}{x+4}$$
同理，有$f(y)\geq\dfrac{4}{y+4}$，$f(z)\geq\dfrac{4}{z+4}$。
然后，我们将这三个不等式代入原不等式中，得到：
$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}$$
接下来，我们使用柯西不等式：
$$\begin{aligned}\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}&=\dfrac{4^2}{4x+16}+\dfrac{4^2}{4y+16}+\dfrac{4^2}{4z+16}\\&\geq\dfrac{(2+2+2)^2}{4x+4y+4z+48}\\&=\dfrac{36}{x+y+z+12}\end{aligned}$$
因此，我们证明了原不等式：
$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{9}{x+y+z+3}$$
其中$x,y,z$为正实数。
解法：
根据题目中的不等式，我们可以想到使用柯西不等式。
首先，我们将$f(x)$进行变形，得到：
$$f(x)=\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2(x/2+1/2)}\geq\dfrac{4}{(x/2)+1+1+1}=\dfrac{4}{x+4}$$
同理，有$f(y)\geq\dfrac{4}{y+4}$，$f(z)\geq\dfrac{4}{z+4}$。
然后，我们将这三个不等式代入原不等式中，得到：
$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}$$
接下来，我们使用柯西不等式：
$$\begin{aligned}\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}&=\dfrac{4^2}{4x+16}+\dfrac{4^2}{4y+16}+\dfrac{4^2}{4z+16}\\&\geq\dfrac{(2+2+2)^2}{4x+4y+4z+48}\\&=\dfrac{36}{x+y+z+12}\end{aligned}$$
因此，我们证明了原不等式：
$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{9}{x+y+z+3}$$
其中$x,y,z$为正实数。