题目：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，求证：$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{9}{x+y+z+3}$，其中$x,y,z$为正实数。

解法：

根据题目中的不等式，我们可以想到使用柯西不等式。

首先，我们将$f(x)$进行变形，得到：

$$f(x)=\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2(x/2+1/2)}\geq\dfrac{4}{(x/2)+1+1+1}=\dfrac{4}{x+4}$$

同理，有$f(y)\geq\dfrac{4}{y+4}$，$f(z)\geq\dfrac{4}{z+4}$。

然后，我们将这三个不等式代入原不等式中，得到：

$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}$$

接下来，我们使用柯西不等式：

$$\begin{aligned}\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{4}{y+4}+\dfrac{4}{z+4}&=\dfrac{4^2}{4x+16}+\dfrac{4^2}{4y+16}+\dfrac{4^2}{4z+16}\\&\geq\dfrac{(2+2+2)^2}{4x+4y+4z+48}\\&=\dfrac{36}{x+y+z+12}\end{aligned}$$

因此，我们证明了原不等式：

$$f(x)+f(y)+f(z)\geq\dfrac{9}{x+y+z+3}$$

其中$x,y,z$为正实数。