1、“此合同可以作为试用期不签劳动合同的证据吗?”：可以，但你还必须有证据证明，在9月1日前、6月1日你即已经到公司上班才行。
2、“是不是可以要求赔偿三个月双倍工资.法律依据能附上吗?”：
（1）不能要求赔偿三个月的双倍工资，只能要求赔偿7、8两个月的双倍工资。
（2）依据是：
①劳动合同法》第十九条：“劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。
试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限”。
②第八十二条第一款：“ 用人单位自用工之日起【超过一个月】不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
3、虽然之后补签了劳动合同，但补签的合同并没有将6月1日至9月1日的实际劳动时间包括在内，而且事后补签，并没有对之前的违法不签定合同行为作出任何补救措施，所以仍然应当赔偿双倍工资，但应是从工作满一个月后开始执行双倍工资。
4、“聘任书不是劳动合同,只是聘任通知书.或者叫任命书? ”：如果没有正式合同，聘任书中的相关条款可以视为合同；但如果有正式合同，应以合同为准。
5、“补签的合同中规定已经过去的三个月是试用期,没有包括在劳动期限内,这也是违法的,如果我索赔应该以那个违法行为作为索赔依据呢? 是未签订劳动合同还是违法约定试用期? 还是一起?”：
（1）如果公司后来签的合同中没有约定正式合同期限、只约定了试用期：属于违法，试用期不成立，约定的试用期视为正式劳动合同期限。可你的正式合同似乎是约定劳动合同期限从9月1日开始吧？
（2）如果你以“试用期没有包括在劳动期限内”国由索赔，只索赔要求只能是“试用期应发正式合同期工资；如果你以前三个月未签合同索赔，可以索要2个月的双倍工资：哪个合算，你自己看看吧。