1. 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在 $x=1$ 处的切线斜率。

解：曲线 $y=\frac{1}{x}$ 的导函数为 $y'=-\frac{1}{x^2}$，在 $x=1$ 处的导数为 $y'=-1$，即切线斜率为 $-1$。

2. 求函数 $y=\ln(x+1)$ 在 $x=0$ 处的导数和二阶导数。

解：函数 $y=\ln(x+1)$ 的导函数为 $y'=\frac{1}{x+1}$，在 $x=0$ 处的导数为 $y'=1$。函数 $y=\ln(x+1)$ 的二阶导函数为 $y''=-\frac{1}{(x+1)^2}$，在 $x=0$ 处的二阶导数为 $y''=-1$。

3. 求函数 $y=x^3-3x^2+2x-1$ 的极值点和拐点。

解：函数 $y=x^3-3x^2+2x-1$ 的导数为 $y'=3x^2-6x+2$，令导数等于 $0$，解得 $x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。将 $x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入导数，可得函数在 $x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得极小值，$x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得极大值。

函数 $y=x^3-3x^2+2x-1$ 的二阶导数为 $y''=6x-6$，令二阶导数等于 $0$，解得 $x=1$。将 $x=1$ 代入二阶导数，可得函数在 $x=1$ 处取得拐点。

4. 求函数 $y=e^x\sin x$ 的极值点和拐点。

解：函数 $y=e^x\sin x$ 的导数为 $y'=e^x\sin x+e^x\cos x$，令导数等于 $0$，解得 $x=\frac{(4n+1)\pi}{4}$，其中 $n$ 为整数。将 $x=\frac{(4n+1)\pi}{4}$ 代入导数，可得函数在 $x=\frac{(4n+1)\pi}{4}$ 处取得极值点。

函数 $y=e^x\sin x$ 的二阶导数为 $y''=2e^x\cos x$，令二阶导数等于 $0$，解得 $x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$，其中 $n$ 为整数。将 $x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ 代入二阶导数，可得函数在 $x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ 处取得拐点。