我来一条一条帮你分析吧
1.我于2019年4月22日在一家私营企业工作至今，一直没有签订劳动和同
用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系；用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。依据是劳动合同法第7和第10条
用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。依据是劳动合同法82条
用人单位和劳动者必须依法参加社会保险，缴纳社会保险费。依据是劳动法72条
用人单位无故不缴纳社会保险费的，由劳动行政部门责令其限期缴纳；逾期不缴的，可以加收滞纳金。依据是劳动法100条
2.2019年9月28日被老板口头辞退
用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行
劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当支付【赔偿金】
赔偿金是经济补偿的两倍，而经济补偿是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。依据是劳动合同法47、48、87条
3.请问这怎么寻求补偿呢
可以和老板协商，协商不下可以申请劳动仲裁，对仲裁不服还能向法院起诉
4.我是应届毕业生，6月份毕业，毕业证到现在刚领到
实话说，严格意义上得从你毕业后才算劳动关系的，但是你可以主张从422开始计算劳动关系，也许仲裁庭会认可的
5.明天会申请劳动仲裁，还需要提供什么材料
工资条、签到表、上班刷卡记录等一切能证明你在单位存在事实劳动关系的证据材料都可以，多多益善
6.我是否可以叫老板补偿我双倍工资和没有提前30天通知我是否还要补偿我一个月工资作为代通金
准确跟你说，本案不存在补偿金和代通知金，而应当是赔偿金。因为补偿是在合法前提下才补偿，而本案老板解约是违法的应当适用更高额的赔偿而不是补偿。详情请查阅第2点解释
就本案而言，简单总结你的索赔数额为
a.从用工之日起第二个月开始到现在的每月双倍工资
b.要求单位补缴社保
c.要么要求老板继续让你留下工作，要么要求老板支付赔偿金为一个月的工资额
具体依据你可以参考劳动合同法，上面都有明文规定的

希望对你有帮助，也衷心祝愿你能早日维权成功！