一、选择题（本题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）

1. 下列哪个数是 2 的整数次幂？
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

2. 若正数 $a$ 满足 $a^2-a-2=0$，则 $a$ 的值为
A. $-1$ 或 $2$ B. $-2$ 或 $1$ C. $-1$ 或 $-2$ D. $1$ 或 $2$

3. 下列不等式组中，正确的是
A. $\begin{cases} x-2>0 \\ x+1<0 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x-2<0 \\ x+1<0 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x-2>0 \\ x+1>0 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x-2<0 \\ x+1>0 \end{cases}$

4. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $1$，$3$，$5$，则 $a_5$ 的值为
A. $7$ B. $9$ C. $11$ D. $13$

5. 下列函数中，是奇函数的是
A. $y=x^2$ B. $y=\sqrt{x}$ C. $y=e^x$ D. $y=\frac{1}{x}$

6. 已知 $f(x)=\begin{cases} x^2-1 & x\leq 0 \\ x+1 & x>0 \end{cases}$，则 $f(-2)+f(0)+f(2)$ 的值为
A. $-1$ B. $0$ C. $3$ D. $5$

7. 在平面直角坐标系中，点 $A(1,2)$，点 $B(-1,5)$，则 $\overline{AB}$ 的中点坐标为
A. $(0,3)$ B. $(0,7)$ C. $(2,3)$ D. $(2,7)$

8. 已知 $\log_2a=3$，$\log_3b=2$，则 $\log_{\frac{1}{6}}(ab)$ 的值为
A. $-5$ B. $-3$ C. $3$ D. $5$

9. 下列不等式中，正确的是
A. $\frac{1}{x+1}>0$
B. $\frac{1}{x+1}\geq 0$
C. $\frac{1}{x+1}<0$
D. $\frac{1}{x+1}\leq 0$

10. 已知函数 $f(x)=x^2+2x-3$，则 $f(-1)$ 的值为
A. $-2$ B. $-1$ C. $0$ D. $1$

11. 下列函数中，是偶函数的是
A. $y=x^2$ B. $y=\sqrt{x}$ C. $y=e^x$ D. $y=\frac{1}{x}$

12. 若 $a$，$b$ 都是正整数，且 $a$ 的 $2$ 次方与 $b$ 的 $3$ 次方的积为 $2^{10} imes 3^{15}$，则 $a+b$ 的值为
A. $2^2 imes 3^5$ B. $2^5 imes 3^5$ C. $2^5 imes 3^8$ D. $2^8 imes 3^5$

13. 已知 $\sin\alpha=\frac{2}{3}$，$\cos\beta=\frac{5}{13}$，则 $ an(\alpha+\beta)$ 的值为
A. $\frac{26}{39}$ B. $\frac{56}{39}$ C. $\frac{39}{56}$ D. $\frac{39}{26}$

14. 已知 $ riangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$AB=3$，$AC=4$，则 $BC$ 的长度为
A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$

15. 若 $a$，$b$ 均为正整数，且 $a+b=100$，$a-b=20$，则 $a$ 的值为
A. $60$ B. $70$ C. $80$ D. $90$

二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）

16. 若 $2x-3y=5$，则 $y$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

17. 若 $x$ 是正整数，且 $x^2-8x+7=0$，则 $x$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

18. 若 $x$ 是正实数，且 $\log_2x+\log_4x=2$，则 $x$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

19. 若 $\log_2a=2$，$\log_3b=3$，则 $\log_{\frac{1}{6}}(ab)$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

20. 若 $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & x<0 \\ x^2 & x\geq 0 \end{cases}$，则 $f(2)$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

21. 若 $x$ 是正实数，且 $\log_2x+\log_3x=3$，则 $x$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

22. 若 $a$，$b$ 都是正整数，且 $a+b=8$，$ab=12$，则 $a$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

23. 若 $\sin heta=\frac{3}{5}$，则 $\cos heta$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

24. 若 $ riangle ABC$ 中，$\angle A=30^\circ$，$AB=3$，则 $BC$ 的长度为 $\underline{\qquad\qquad}$。

25. 若 $x$，$y$ 是正整数，且 $x+y=20$，$xy=99$，则 $x$ 的值为 $\underline{\qquad\qquad}$。

三、解答题（本题共5小题，共100分。解答应写出文字说明、步骤、结果等。如果有多种方法，应写出每种方法的步骤和结果，并说明各自的优缺点。）

26.（10分）在平面直角坐标系中，点 $A(-2,3)$，点 $B(4,5)$，$C(1,0)$，$D(-2,-2)$，则 $\overline{AB}$ 的中点坐标为 $\underline{\qquad\qquad}$，$\overline{CD}$ 的中点坐标为 $\underline{\qquad\qquad}$，$\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 的中点连线的斜率为 $\underline{\qquad\qquad}$。

27.（20分）若 $x$ 是正整数，且 $x^2-8x+15=0$，则 $x$ 的值为多少？

28.（20分）已知 $ riangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$AB=3$，$AC=4$，$D$ 是 $BC$ 上的一点，且 $\angle BAD=30^\circ$，$\angle CAD=45^\circ$。求 $\overline{BD}$ 的长度。

29.（25分）已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & x<0 \\ x^2 & x\geq 0 \end{cases}$，求 $f(x)$ 的零点。

30.（25分）已知正整数 $a$，$b$，且 $a+b=10$。求 $a$，$b$ 满足 $ab$ 最大的值，并求出此时的 $ab$ 的值。