以下是一道初中奥数难题：

已知正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=2019$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，求 $abc$ 的最小值。

答案：$abc=403010$。

解析：

首先，根据题目中的 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，我们可以得到：

$$\frac{ab+ac+bc}{abc}=1$$

移项得到：

$$ab+ac+bc=abc$$

接下来，我们考虑如何求出 $abc$ 的最小值。根据 AM-GM 不等式，我们有：

$$\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3}=673$$

因此，$abc\geq 673^3=304980017$。

另一方面，根据 $ab+ac+bc=abc$，我们可以将 $abc$ 写成：

$$abc=\frac{ab+ac+bc}{1}=\frac{ab+ac+bc}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$

根据倒数不等式，我们有：

$$\frac{ab+ac+bc}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\sqrt[3]{(abc)^2}$$

因此，$abc\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$，即 $abc\geq 3\sqrt{abc}$。

移项得到：

$$\sqrt{abc}\geq\frac{1}{3}abc$$

因此，$abc\leq 27 imes 673^2=40435233$。

综合上述结果，我们得到：

$$304980017\leq abc\leq 40435233$$

因此，$abc$ 的最小值为 $403010$。