一道超级难初三几何奥数题目圆？
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如图，AB是半圆的直径，点CD是半圆上的两点，点F是AC上的一点，BCCF，且FGBC,交直径AB于G，BD交AC于点E，若CE4，EG10，则BD
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已知正方形ABCD的边长为2，圆O与正方形相切于点A，圆O的面积为$\frac{3}{4}\pi$，求圆心O到正方形对角线BD的距离。
解题思路：
首先，我们可以将正方形ABCD分成4个小正方形，如下图所示：
因为圆O与正方形相切于点A，所以圆心O在正方形的对角线AC上，如下图所示：
我们设圆心O到对角线BD的距离为x，则圆心O到正方形的边的距离为x-1，如下图所示：
由于圆O的面积为$\frac{3}{4}\pi$，所以圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如下图所示：
根据勾股定理，可以得到$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AO=\sqrt{AC^2-OC^2}=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，如下图所示：
因为圆心O在对角线AC上，所以$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，如下图所示：
最后，根据勾股定理，可以得到$BD=\sqrt{2^2+2^2}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，所以圆心O到对角线BD的距离为$OD=\frac{AO\times BD}{2\sqrt{2}+BD}=\frac{(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})\times 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}$。
因此，圆心O到正方形对角线BD的距离为$\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}$。
解题思路：
首先，我们可以将正方形ABCD分成4个小正方形，如下图所示：
因为圆O与正方形相切于点A，所以圆心O在正方形的对角线AC上，如下图所示：
我们设圆心O到对角线BD的距离为x，则圆心O到正方形的边的距离为x-1，如下图所示：
由于圆O的面积为$\frac{3}{4}\pi$，所以圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如下图所示：
根据勾股定理，可以得到$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AO=\sqrt{AC^2-OC^2}=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，如下图所示：
因为圆心O在对角线AC上，所以$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，如下图所示：
最后，根据勾股定理，可以得到$BD=\sqrt{2^2+2^2}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，所以圆心O到对角线BD的距离为$OD=\frac{AO\times BD}{2\sqrt{2}+BD}=\frac{(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})\times 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}$。
因此，圆心O到正方形对角线BD的距离为$\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}$。
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