有大专文凭，是可以申请小学教师资格的。具体地说，英语、等相关专业大专以上学历的非师范专业，普通话等级达到二级乙等，进修教育学和教育心理学并考试合格之后，可以向当地教育部门提出小学英语教师资格证的申请。期间还有一个面试，也就是试讲的过程。教师资格证的申请一般一年一次，你可以留意当地教育局的动态。
但是只是一个从业资格证书，要成为真正的教师，要你意向的地区有小学英语教师的需求，然后一般是需要通过地区教育局教师招聘的统一考试，依然分为笔试和面试。
CET4没过，而需要相关证书来证明你的英语能力，那可以考虑全国英语等级考试，即PETS。教育部认证的，可以考虑考4或5级。或者托福或雅思。
Good luck to you.