题目描述：

已知正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=2019$，且 $a,b,c$ 两两互质，求 $\max(a,b,c)$ 的值。

解题思路：

因为 $a,b,c$ 两两互质，所以 $\max(a,b,c)$ 必须是其中的一个质数。由于 $a+b+c=2019$，所以 $\max(a,b,c)$ 最大只能是 $673$，因为 $674+673+672=2019$。

接下来我们分别考虑 $\max(a,b,c)$ 是 $673$、$671$、$667$ 和 $661$ 的情况。

当 $\max(a,b,c)=673$ 时，$a+b=1346$，$c=672$。因为 $a,b$ 两数的和为偶数，所以 $a,b$ 必须是奇数。又因为 $a,b$ 两数互质，所以 $a,b$ 必须是 $3$ 个连续的奇数。因此，$a,b$ 中必有一个数是 $673$，而另一个数必须是 $671$。所以，当 $\max(a,b,c)=673$ 时，$a=673$，$b=671$，$c=672$。

当 $\max(a,b,c)=671$ 时，$a+b=1348$，$c=670$。同理可得，$a,b$ 中必须有一个数是 $671$，而另一个数必须是 $677$。但是，$a=671,b=677$ 不满足 $a+b+c=2019$ 的条件。所以，$\max(a,b,c)$ 不可能是 $671$。

当 $\max(a,b,c)=667$ 时，$a+b=1352$，$c=668$。同理可得，$a,b$ 中必须有一个数是 $667$，而另一个数必须是 $685$。但是，$a=667,b=685$ 不满足 $a+b+c=2019$ 的条件。所以，$\max(a,b,c)$ 不可能是 $667$。

当 $\max(a,b,c)=661$ 时，$a+b=1358$，$c=658$。同理可得，$a,b$ 中必须有一个数是 $661$，而另一个数必须是 $697$。但是，$a=661,b=697$ 不满足 $a+b+c=2019$ 的条件。所以，$\max(a,b,c)$ 不可能是 $661$。

综上所述，$\max(a,b,c)$ 的值为 $673$。

答案：$\max(a,b,c)=673$。