首先，消防栓系统的联动控制是一个涉及多个组件和状态的重要安全机制。针对您的问题，以下是具体情况的分析：

1. 联动控制器手动状态：当联动控制器处于手动状态时，意味着消防系统的联动动作需要通过手动操作来完成，而非自动触发。

2. 电气控制柜自动状态：电气控制柜自动状态表明控制柜内的电气系统是根据预设的程序和逻辑来自动执行相关动作的。

在这种情况下，如果您按下消防泵启动按钮：

一般情况下，如果联动控制器手动状态并没有禁止消防泵的启动，同时电气控制柜处于自动状态，且控制逻辑允许手动操作启动消防泵，那么按下启动按钮后，消防泵应当能够启动。

以下是详细解答：

- 如果联动控制器手动状态下，启动按钮与消防泵的启动逻辑是独立的，或者系统设计允许手动操作覆盖自动状态的部分功能，那么消防泵可以启动。
- 如果电气控制柜虽然处于自动状态，但是其内部逻辑与联动控制器的手动状态冲突，或者需要联动控制器也处于自动状态才能启动消防泵，那么即使按下启动按钮，消防泵也不会启动。

为了确保准确性和避免误导，建议的操作是：

- 查阅具体的消防栓系统操作手册或咨询系统制造商，以确定特定型号和配置下的正确操作步骤。
- 如果在实际操作中遇到问题，建议联系专业的消防系统维护人员进行检查和故障排除。

总结：

消防泵能否在联动控制器手动状态，电气控制柜自动状态下通过按下启动按钮来启动，取决于系统的具体设计和配置。在实际操作前，务必确认系统操作手册或咨询专业人士，确保操作正确无误。

希望以上回答能够帮到您，如有其他疑问，欢迎继续咨询。祝您工作顺利！