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内插法计算公式是什么？

帮考网校2020-07-07 18:17:47

内插法是一种通过已知数据点来估算未知数据点的方法。其计算公式取决于所使用的具体内插方法，常见的内插方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。以下是这些方法的基本公式：

1. 拉格朗日插值公式：

$$f(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$

其中，$n$ 是已知数据点的数量，$x$ 是待估算的未知数据点，$y_i$ 是已知数据点的函数值，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数：

$$L_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

2. 牛顿插值公式：

$$f(x) = \sum_{i=0}^n f[x_0,x_1,\cdots,x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j)$$

其中，$f[x_0,x_1,\cdots,x_i]$ 是牛顿插值系数，可以通过递推公式计算：

$$f[x_i] = y_i$$

$$f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\cdots,x_{i+k}] - f[x_i,\cdots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

3. 分段线性插值公式：

$$f(x) = \begin{cases} y_0 + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0), & x_0 \leq x \leq x_1 \\ y_1 + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1), & x_1 \leq x \leq x_2 \\ \cdots & \\ y_{n-1} + \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}(y_n-y_{n-1}), & x_{n-1} \leq x \leq x_n \end{cases}$$

其中，$n$ 是已知数据点的数量，$x$ 是待估算的未知数据点，$y_i$ 是已知数据点的函数值，$x_i$ 是已知数据点的横坐标。