A、甲公司与刘某之间不存在劳动关系
B、甲公司与刘某之间视为已订立无固定期限劳动合同
选项A符合题意：劳动关系自“用工之日”（2015年1月1日）起建立；
选项B符合题意：用人单位自用工之日起“满一年”（本题仅7个月）未与劳动者订立书面劳动合同的，视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同；
选项CD说法正确：用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付“2倍的工资”，并与劳动者补订书面劳动合同，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并“支付经济补偿金”。