2. 求以下积分的值:
$$
\int_0^{\infty}\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx
$$
3. 求由曲线 $y=\sqrt{x}$,$x=1$,$y=1$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的体积。
4. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,且 $\int_0^1f(x)dx=0$,证明:存在 $\xi,\eta\in[0,1]$,使得 $\int_{\xi}^{\xi+\eta}f(x)dx=0$。
5. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,且 $\int_a^bf(x)dx=0$,证明:存在 $\xi\in[a,b]$,使得 $\int_a^{\xi}f(x)dx=\int_{\xi}^bf(x)dx$。
6. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,且 $\int_a^bf(x)dx=1$,证明:
$$
\lim_{n o\infty}\int_a^bf(x)\left[\frac{(x-a)(b-x)}{n}ight]^ndx=0
$$
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