1. 求函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x\in(0,\infty)$ 上的最小正周期。

解：对于任意 $x\in(0,\infty)$，有 $f(x)=f(x+2k\pi)$，其中 $k$ 为任意整数。因此 $2\pi$ 不是 $f(x)$ 的最小正周期。

又因为 $\lim\limits_{x o0}\frac{\sin x}{x}=1$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的值为 $1$。

当 $x\in(0,\infty)$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[0,1]$，且当 $x\in(0,\pi)$ 时，$f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上单调递减。因此 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的最小正周期为 $\pi$。

综上所述，$f(x)$ 在 $x\in(0,\infty)$ 上的最小正周期为 $\pi$。

2. 求方程 $x^3-3x^2+2x+1=0$ 的根的个数。

解：设 $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，则 $f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1$。因此 $f'(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,\infty)$ 上单调递增，且 $f'(1)=-1<0$，$f'(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上取负值，在 $(1,\infty)$ 上取正值。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,\infty)$ 上单调递增。

当 $x o-\infty$ 时，$f(x) o-\infty$；当 $x o\infty$ 时，$f(x) o\infty$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上有且仅有一个实根，且在 $(1,\infty)$ 上有且仅有一个实根。

设 $x_1$ 为 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上的实根，$x_2$ 为 $f(x)$ 在 $(1,\infty)$ 上的实根。由于 $f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，因此 $x_1\in(0,1)$，$x_2\in(1,2)$。

又因为 $f(-1)=-3<0$，$f(2)=7>0$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(2,\infty)$ 上无实根。

综上所述，方程 $x^3-3x^2+2x+1=0$ 有且仅有两个实根，一个在 $(0,1)$，一个在 $(1,2)$。

3. 设 $a,b,c$ 为正实数，且满足 $a+b+c=1$，求 $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ 的最小值和最大值。

解：由于 $a+b+c=1$，所以 $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}=1-\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}$。

设 $ab+bc+ca=x$，则 $x\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$，且 $1-\frac{2x}{a+b+c}=1-\frac{6x}{3(a+b+c)}=1-\frac{6x}{(a+b+c)^2}$。

令 $f(x)=1-\frac{6x}{(a+b+c)^2}$，则 $f'(x)=-\frac{6}{(a+b+c)^2}$，$f(x)$ 在 $[0,\frac{1}{3}]$ 上单调递减。因此当 $x=\frac{1}{3}$ 时，$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ 取得最小值 $\frac{3}{2}$。当 $x=0$ 时，$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ 取得最大值 $1$。

综上所述，$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$，最大值为 $1$。