题目描述：

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=0$，$f(1)=1$，且 $f(x)>0$。证明：$$\int_0^1 \frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}dx \geq \frac{1}{2}$$

解题思路：

根据题目中的不等式，我们可以将其转化为以下形式：$$\int_0^1 \frac{f(1-x)}{f(x)+f(1-x)}dx \geq \frac{1}{2}$$

将上式与原式相加，得到：$$\int_0^1 \frac{f(x)+f(1-x)}{f(x)+f(1-x)}dx \geq 1$$

即：$$\int_0^1 dx \geq 1$$

显然这是成立的，因此原不等式也成立。

另一种证明方法：

设 $g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}$，则 $g(x)+g(1-x)=1$。

因此，我们可以将积分区间 $[0,1]$ 分成两个部分，即 $[0,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},1]$。

对于第一个部分，有：$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x)dx + \int_0^{\frac{1}{2}} g(1-x)dx = \int_0^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2}$$

对于第二个部分，有：$$\int_{\frac{1}{2}}^1 g(x)dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 g(1-x)dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 g(x)dx + \int_0^{\frac{1}{2}} g(x)dx = \int_0^1 g(x)dx - \int_0^{\frac{1}{2}} g(x)dx = \frac{1}{2}$$

因此，原不等式成立。