1.已知函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，求$f^{(n)}(0)$。

解：由函数的泰勒公式可得：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

又因为$f(x)$在$x=0$处的各阶导数都存在，所以可以对上式两边求$n$阶导数，得到：

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k!}{(k-n)!}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n}$$

令$x=0$，则有：

$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{(n-2)!}f^{(n)}(0)$$

化简可得：

$$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0 & n ext{为奇数}\\ (-1)^{n/2}\cdot n!\cdot\frac{(n-1)!!}{(n/2)!^2} & n ext{为偶数}\end{cases}$$

2.已知函数$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$，且$f(1)=e$，求$a_3$。

解：由函数的泰勒公式可得：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

将$x=1$代入上式，得到：

$$f(1)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k=e$$

又因为$f(x)$在$x=0$处的各阶导数都存在，所以可以对上式两边求三阶导数，得到：

$$f^{(3)}(x)=6a_3+24a_4x+60a_5x^2+\cdots$$

令$x=0$，则有：

$$f^{(3)}(0)=6a_3$$

又因为$f(1)=e$，所以有：

$$f^{(3)}(0)=\left.\frac{d^3}{dx^3}f(x)ight|_{x=1}$$

由此可得：

$$a_3=\frac{1}{6}\left.\frac{d^3}{dx^3}f(x)ight|_{x=1}$$

3.已知函数$f(x)=\frac{1}{1-x^2}$，求$f^{(n)}(0)$。

解：由函数的泰勒公式可得：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

又因为$f(x)$在$x=0$处的各阶导数都存在，所以可以对上式两边求$n$阶导数，得到：

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k!}{(k-n)!}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n}$$

令$x=0$，则有：

$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{(n-2)!}f^{(n)}(0)$$

化简可得：

$$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0 & n ext{为奇数}\\ n!\cdot\frac{(n-1)!!}{(n/2)!^2} & n ext{为偶数}\end{cases}$$

4.已知函数$f(x)=\ln(1+x)$，求$f^{(n)}(0)$。

解：由函数的泰勒公式可得：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

又因为$f(x)$在$x=0$处的各阶导数都存在，所以可以对上式两边求$n$阶导数，得到：

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k!}{(k-n)!}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n}$$

令$x=0$，则有：

$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-1)!}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=f^{(n)}(0)$$

化简可得：

$$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0 & n ext{为奇数}\\ (-1)^{n/2-1}\cdot(n-1)! & n ext{为偶数}\end{cases}$$