2014考研数学二 
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chaniuduan1回答 · 203人浏览203人浏览 · 0 收藏
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帮考网答疑老师 资深老师 02-06 TA获得超过6595个赞 2024-02-06 16:00
1. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)>0$，证明 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}\geq (b-a)^2$.
2. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=f(1)=0$，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{12}\int_0^1[f'(x)]^2dx$.
3. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=f(1)=0$，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{4}\int_0^1[f''(x)]^2dx$.
4. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{2}\int_0^1[f'(x)]^2dx+\frac{1}{2}f^2(1)$.
5. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dx-\int_0^1xf(x)dxight]^2$.
6. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)>0$，证明 $\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\geq\frac{(b-a)^2}{\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x}\cdot\int_a^bf(x)dx}$.
7. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dxight]^2$.
8. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{16}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dx-\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dxight]^2$.
9. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dxight]^2$.
10. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dx-\int_{\frac{1}{2}}^1f(x)dxight]^2$.![]()
2. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=f(1)=0$，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{12}\int_0^1[f'(x)]^2dx$.
3. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=f(1)=0$，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{4}\int_0^1[f''(x)]^2dx$.
4. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\leq\frac{1}{2}\int_0^1[f'(x)]^2dx+\frac{1}{2}f^2(1)$.
5. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dx-\int_0^1xf(x)dxight]^2$.
6. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)>0$，证明 $\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\geq\frac{(b-a)^2}{\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x}\cdot\int_a^bf(x)dx}$.
7. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dxight]^2$.
8. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{16}{\pi^2}\left[\int_0^1f(x)dx-\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dxight]^2$.
9. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dxight]^2$.
10. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle\int_0^1[f(x)]^2dx\geq\frac{4}{\pi^2}\left[\int_0^{\frac{1}{2}}f(x)dx-\int_{\frac{1}{2}}^1f(x)dxight]^2$.
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