1. 若 $a+b=3$，$ab=2$，则 $a^2+b^2$ 的值为多少？

解：由 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2 imes2=5$。

答：$a^2+b^2=5$。

2. 已知 $\log_2x+\log_4x=3$，则 $x$ 的值是多少？

解：将 $\log_4x$ 用 $\log_2x$ 表示，得到 $\log_2x+\frac{1}{2}\log_2x=3$，即 $\frac{3}{2}\log_2x=3$，解得 $\log_2x=2$，即 $x=2^2=4$。

答：$x=4$。

3. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f(x)-f(y)$ 的值是多少？

解：$f(x)-f(y)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}=\frac{y-x}{(x-1)(y-1)}$。

答：$f(x)-f(y)=\frac{y-x}{(x-1)(y-1)}$。

4. 在 $ riangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，则 $\sin A$ 的值是多少？

解：根据正弦定理，$\sin A=\frac{a}{2R}$，其中 $a$ 为 $ riangle ABC$ 的面积，$R$ 为 $ riangle ABC$ 的外接圆半径。由海龙公式，$ riangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{3 imes4}{2}=6$，其中 $s=\frac{1}{2}(a+b+c)=6$。由外心公式，$R=\frac{abc}{4a riangle ABC}=\frac{5}{2}$。因此，$\sin A=\frac{a}{2R}=\frac{12}{5}$。

答：$\sin A=\frac{12}{5}$。

5. 已知 $a+b+c=3$，$ab+bc+ca=2$，则 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值是多少？

解：由 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$，得 $a^2+b^2+c^2=9-2(ab+bc+ca)=5$。因此，$a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $5$。

答：$a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $5$。