1. If x and y are positive integers such that x^2 - y^2 = 63, what is the value of x?

解：因为 63 = 9 × 7，所以 x^2 - y^2 可以写成 (x + y)(x - y) = 63。由于 x 和 y 是正整数，因此 x + y 和 x - y 都是正整数因子。我们列出所有可能的因子对：

1 × 63
3 × 21
7 × 9

由于 x 和 y 都是正整数，因此只有第二个因子对可以满足条件，即：

x + y = 21
x - y = 3

解这个方程组，得到 x = 12。

因此，x 的值为 12。

2. If x and y are positive integers such that x^2 + y^2 = 25, what is the value of xy?

解：根据勾股定理，x 和 y 可以表示成一个直角三角形的两条直角边的长度。因为 x 和 y 都是正整数，所以这个直角三角形的斜边长度必须是整数。根据勾股定理，斜边长度为 √(x^2 + y^2) = 5。

因此，这个直角三角形的两条直角边的长度可以表示成 (3, 4) 或者 (4, 3)。因此，xy 的值可以是 12 或者 12。

因此，xy 的值为 12。