请高手翻译两道gmat数学题并求解
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bigabin 新兵答主 04-02 TA获得超过7992个赞 2023-04-02 06:09
1. If x and y are positive integers such that x + y = 20, what is the minimum possible value of x^2 + y^2?
Solution: We can use the Cauchy-Schwarz inequality to solve this problem. This inequality states that (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 for any real numbers a, b, c, and d. Applying this to x, y, 1, and 1, we get:
(x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) ≥ (x*1 + y*1)^2
x^2 + y^2 ≥ (x + y)^2/2
x^2 + y^2 ≥ 200/2
x^2 + y^2 ≥ 100
Therefore, the minimum possible value of x^2 + y^2 is 100, which occurs when x = y = 10.
2. If a, b, and c are positive integers such that a + b + c = 100, what is the maximum possible value of abc?
Solution: We can use the AM-GM inequality to solve this problem. This inequality states that the arithmetic mean of a set of non-negative numbers is greater than or equal to their geometric mean. Applying this to a, b, and c, we get:
(a + b + c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
abc ≤ (a + b + c)^3/27
abc ≤ 100^3/27
Therefore, the maximum possible value of abc is 370,370, which occurs when a = b = c = 100/3 (rounded down to the nearest integer).
Solution: We can use the Cauchy-Schwarz inequality to solve this problem. This inequality states that (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 for any real numbers a, b, c, and d. Applying this to x, y, 1, and 1, we get:
(x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) ≥ (x*1 + y*1)^2
x^2 + y^2 ≥ (x + y)^2/2
x^2 + y^2 ≥ 200/2
x^2 + y^2 ≥ 100
Therefore, the minimum possible value of x^2 + y^2 is 100, which occurs when x = y = 10.
2. If a, b, and c are positive integers such that a + b + c = 100, what is the maximum possible value of abc?
Solution: We can use the AM-GM inequality to solve this problem. This inequality states that the arithmetic mean of a set of non-negative numbers is greater than or equal to their geometric mean. Applying this to a, b, and c, we get:
(a + b + c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
abc ≤ (a + b + c)^3/27
abc ≤ 100^3/27
Therefore, the maximum possible value of abc is 370,370, which occurs when a = b = c = 100/3 (rounded down to the nearest integer).
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bianniangong·2019-10-31一道GMAT数学题,请帮忙翻译一下,并解答一下,始终没读懂要求什么
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