求较难的不定方程应用题或者较难的经典奥数题

1. 某人有若干个红球和若干个白球，他每次可以任选两个球交换位置，问他最少需要进行多少次交换才能让所有红球排在所有白球的前面？

2. 在一个正方形的边长为100的格子中，有99个黑色格子和1个白色格子。每次可以选择一个黑色格子，将其变为白色格子，同时将其上下左右四个格子也都变成黑色格子。问最少需要多少次操作才能使得所有格子都变成白色格子？

3. 某人从1~100中任选两个不同的自然数，记它们的和为S，积为P。已知S和P的值，求这两个自然数。

4. 在平面直角坐标系中，有一条曲线y=x^3+ax+b，过点(1,1)并与直线y=x+2相切，求a和b的值。

5. 有一堆石子，共有n个，两人轮流取石子，每次可以取1~k个石子，最后取光者胜利。已知先手必胜，求n和k的取值范围。

6. 在一个6*6的正方形棋盘上，有36个棋子，其中有12个红色的、12个绿色的和12个蓝色的。每次可以选择一个棋子，将其和与其相邻的四个棋子颜色全部取反。问是否存在一种操作方案，使得最终所有棋子的颜色都相同？如果存在，给出一种方案。

7. 某人有若干个硬币，其中有一枚是假币，比真币轻一些。已知用天平称重可以知道任意若干个硬币的总重量，问最少需要称多少次才能确定哪枚硬币是假币。

8. 在一个圆形花坛中，有n朵花，每朵花的颜色都不同。现在要将它们排成一个环形，使得相邻的花的颜色不同。已知n为偶数，求可行的排列方案数。

9. 在一个n*n的棋盘上，有一个国际象棋中的骑士棋子。现在要将其移动到棋盘的某个指定位置，每次可以按照骑士的移动方式（即走“日”字形）移动一步，但不能经过已经走过的格子。问是否存在一种移动方案，使得骑士能够到达指定位置？如果存在，给出一种方案。

10. 在一个n*n的方格中，有一些格子是黑色的，其余的格子是白色的。现在要用一些L形的多米诺骨牌（即两个格子组成的形状，其中一个格子是另一个格子的左上角或右下角）覆盖所有的白色格子，每个骨牌只能覆盖两个白色格子且不能重叠。已知n为偶数，求是否存在一种覆盖方案，使得所有骨牌都被用到？如果存在，给出一种方案。