尊敬的提问者，关于监理工程师注册是否可以注册到施工单位的问题，以下是基于现行规定的详细解答：

1. 监理工程师的注册资格：
监理工程师是通过全国统一考试合格，取得《监理工程师资格证书》的专业人员。根据《监理工程师资格考试和注册试行办法》，监理工程师可以进行注册，以合法执业。

2. 注册单位的范围：
监理工程师不仅可以注册在监理公司，同样可以在施工单位注册。实际上，只要是与建设工程相关的勘察、设计、施工、监理、招标代理、造价咨询等单位，监理工程师均可受聘并在那里进行注册。

3. 注册流程：
监理工程师若要在施工单位注册，需要通过聘用单位向单位工商注册所在地的省、自治区、直辖市人民政府建设主管部门提出注册申请。申请经过初审和国务院建设主管部门的审批后，符合条件的监理工程师可以获得注册证书和执业印章。

4. 监理工程师的角色：
监理工程师在施工单位的角色是代表业主监控工程质量，是业主和承包商之间的桥梁。他们需要具备工程技术知识、成本核算以及清楚建筑法规等专业能力。

5. 注册注意事项：
- 初始注册者需在监理工程师资格证书签发之日起3年内提出申请。
- 如果逾期未申请，需要满足继续教育的要求后方可申请初始注册。

综上所述，监理工程师完全有资格注册到施工单位，而不局限于监理公司。希望我的回答能够帮助您完全理解并解决这个问题。如果还有其他疑问，欢迎继续提问。祝您工作顺利！