高中数学，几何证明题，关于求二面角的平面角问题
1 回答阅读 10160
一个图片为题目，一个为图，最后一个图为我困惑的点就是当p与c重合时，为啥oc在面A1BO上的投影在OA1上，谢谢
最佳回答
假设有两个平面 $P_1$ 和 $P_2$，它们的交线为 $l$，点 $A$ 在 $P_1$ 上，点 $B$ 在 $P_2$ 上，且 $AB$ 垂直于 $l$。我们要证明的是 $P_1$ 和 $P_2$ 的二面角等于 $\angle AOB$，其中 $O$ 是 $l$ 的任意一点。
证明：
首先，我们可以将 $P_1$ 和 $P_2$ 分别旋转，使得它们的交线 $l$ 与 $xy$ 平面重合，且 $A$ 和 $B$ 分别位于 $xz$ 平面和 $yz$ 平面上。此时，我们可以将问题转化为三维直角坐标系中的问题。
设 $l$ 的方程为 $x=y=0$，$A$ 的坐标为 $(a,0,0)$，$B$ 的坐标为 $(0,b,0)$，$O$ 的坐标为 $(0,0,c)$。则 $\angle AOB$ 的余弦值为：
$$\cos\angle AOB=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2}}$$
而 $P_1$ 和 $P_2$ 的法向量分别为 $(1,0,-\frac{a}{c})$ 和 $(0,1,-\frac{b}{c})$，它们的夹角余弦值为：
$$\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2}}$$
因此，$\angle AOB$ 的余弦值等于 $P_1$ 和 $P_2$ 的法向量夹角的余弦值，即 $P_1$ 和 $P_2$ 的二面角。证毕。
证明：
首先，我们可以将 $P_1$ 和 $P_2$ 分别旋转，使得它们的交线 $l$ 与 $xy$ 平面重合，且 $A$ 和 $B$ 分别位于 $xz$ 平面和 $yz$ 平面上。此时，我们可以将问题转化为三维直角坐标系中的问题。
设 $l$ 的方程为 $x=y=0$，$A$ 的坐标为 $(a,0,0)$，$B$ 的坐标为 $(0,b,0)$，$O$ 的坐标为 $(0,0,c)$。则 $\angle AOB$ 的余弦值为：
$$\cos\angle AOB=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2}}$$
而 $P_1$ 和 $P_2$ 的法向量分别为 $(1,0,-\frac{a}{c})$ 和 $(0,1,-\frac{b}{c})$，它们的夹角余弦值为：
$$\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2}}$$
因此，$\angle AOB$ 的余弦值等于 $P_1$ 和 $P_2$ 的法向量夹角的余弦值，即 $P_1$ 和 $P_2$ 的二面角。证毕。
声明：本文内容由互联网用户自发贡献自行上传，本网站不拥有所有权，未作人工编辑处理，也不承担相关法律责任。如果您发现有涉嫌版权的内容，欢迎发送邮件至：service@bkw.cn 进行举报，并提供相关证据，工作人员会在5个工作日内联系你，一经查实，本站将立刻删除涉嫌侵权内容。