2019年浙江省高考理科数学卷第16题求过程

题目描述：

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-6x+10}$，$a>b>0$，且 $f(a)-f(b)=\dfrac{1}{a-b}$，则 $a+b$ 的值为（ ）。

解题步骤：

根据题目中的条件，我们可以列出方程：

$$
\begin{aligned} f(a)-f(b)&=\dfrac{1}{a-b}\\ \dfrac{1}{a^2-6a+10}-\dfrac{1}{b^2-6b+10}&=\dfrac{1}{a-b} \end{aligned}
$$

将上式左边的分式通分，得：

$$
\dfrac{b^2-6b+10-a^2+6a-10}{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=\dfrac{1}{a-b}
$$

化简得：

$$
(a+b)(a-b)(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)=-(a-b)^3
$$

因为 $a>b>0$，所以 $a+b>2b>0$，所以 $a+b$ 的值为正数。

两边取绝对值，得：

$$
(a+b)|a-b|\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=|a-b|^3
$$

两边同时除以 $|a-b|$，得：

$$
(a+b)\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=|a-b|^2
$$

因为 $a>b>0$，所以 $a-b>0$，所以 $|a-b|=a-b$，代入上式，得：

$$
(a+b)\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=(a-b)^2
$$

将 $(a-b)^2$ 展开，得：

$$
(a+b)\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=a^2-2ab+b^2
$$

移项，得：

$$
(a+b)\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}=a^2+2ab+b^2-4ab
$$

因为 $a+b>2b$，所以 $a+b>2\sqrt{ab}$，所以 $a+b-2\sqrt{ab}>0$，所以 $\sqrt{(a^2-6a+10)(b^2-6b+10)}>a+b-2\sqrt{ab}$。

将上式代入原式，得：

$$
a^2+2ab+b^2-4ab>(a+b)(a+b-2\sqrt{ab})
$$

化简得：

$$
2ab-2\sqrt{ab}(a+b)+a^2-2ab+b^2>0
$$

化简得：

$$
(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>0
$$

因为 $a>b>0$，所以 $\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$，所以 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0$，所以 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>0$。

所以原式恒成立，即 $a+b=\boxed{4}$。