高等数学，高斯定理的题目，谢谢

1. 求球体 $x^2+y^2+z^2\leqslant 1$ 被平面 $x+y+z=0$ 截下的部分的体积。

解：根据高斯定理，设球体的外侧为正方向，则有
$$
\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iiint_V \mathrm{div}\,\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V
$$
取 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}$，其中 $\boldsymbol{r}=(x,y,z)$，则有 $\mathrm{div}\,\boldsymbol{F}=3$，代入高斯定理得
$$
\iiint_V \mathrm{div}\,\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V = 3\iiint_V \mathrm{d}V = 3\cdot\frac{4}{3}\pi = 4\pi
$$
又平面 $x+y+z=0$ 与球体 $x^2+y^2+z^2=1$ 的交线为一个圆，设其为 $C$，则有
$$
\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_C \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}
$$
取 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}$，则有
$$
\int_C \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \int_C \boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \frac{1}{2}\int_C \mathrm{d}(x^2+y^2+z^2) = \frac{1}{2}\int_C \mathrm{d} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi
$$
因此，所求体积为
$$
V = \frac{1}{3}\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{1}{3}\cdot\frac{4\pi-\pi}{3}=\frac{1}{9}(3\pi-4)
$$

2. 求区域 $D:0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1,0\leqslant z\leqslant 1$ 被平面 $x+y+z=1$ 截下的部分的体积。

解：同样地，取 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}$，则有 $\mathrm{div}\,\boldsymbol{F}=3$，代入高斯定理得
$$
\iiint_V \mathrm{div}\,\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V = 3\iiint_V \mathrm{d}V = 3
$$
又平面 $x+y+z=1$ 与立方体 $0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1,0\leqslant z\leqslant 1$ 的交线为一个三角形，设其为 $S$，则有
$$
\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}
$$
对于三角形 $S$ 上的任意一点 $(x,y,z)$，其在三角形内的投影点为 $(\frac{x}{3},\frac{y}{3},\frac{z}{3})$，因此有
$$
\boldsymbol{n}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{1}{3}\mathrm{d}S
$$
其中 $\boldsymbol{n}$ 为三角形 $S$ 的法向量。又因为 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}$，故有
\begin{align*}
\int_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \int_S \boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \\
&= \int_S (x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k})\cdot(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\,\mathrm{d}S \\
&= \int_S (x+y+z)\,\mathrm{d}S \\
&= \int_0^1\int_0^{1-x}\left(\int_0^{1-x-y}(x+y+z)\,\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \frac{1}{6}
\end{align*}
因此，所求体积为
$$
V = \frac{1}{3}\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{18}
$$