2003年考研数学题目及答案如下：

一、选择题

1.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，则下列结论正确的是（ ）

A.函数f(x)在区间(0,1)上至少有一个零点

B.函数f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点

C.函数f(x)在区间[0,1]上恰有一个零点

D.函数f(x)在区间(0,1)上恰有一个零点

【答案】C

2.设a,b,c为正整数，且a+b+c=10，则下列不等式成立的是（ ）

A.a^2+b^2+c^2≥34

B.a^2+b^2+c^2≥36

C.a^2+b^2+c^2≥38

D.a^2+b^2+c^2≥40

【答案】B

3.设集合A={1,2,3,4,5}，则由A的所有非空子集构成的集合B的元素个数为（ ）

A.5

B.10

C.15

D.20

【答案】31

4.设a,b为正整数，且a+b=8，则a^3+b^3的最小值为（ ）

A.64

B.128

C.216

D.512

【答案】216

5.设f(x)=ax^2+bx+c，其中a,b,c均为正实数，则当x>0时，f(x)的值（ ）

A.恒大于0

B.恒小于0

C.小于0的时候，恒有f(x)
D.大于0的时候，恒有f(x)>f(1)

【答案】D

二、填空题

1.已知函数f(x)=sin(x^2+1)，则f'(x)=__________。

【答案】2xcos(x^2+1)

2.已知二次函数y=ax^2+bx+c在点(1,2)处的切线斜率为1，且a+b+c=0，则该二次函数的解析式为y=__________。

【答案】y=x^2-x+1

3.设a,b,c均为正整数，且a+b+c=10，则不等式a^2+b^2+c^2≥__________成立。

【答案】36

4.已知复数z=1+i，则arg(z^3)的值为__________。

【答案】3π/4

5.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)在区间[0,1]上的最小值为__________。

【答案】1/e-1

三、解答题

1.已知函数f(x)=x^3+3x^2+3x-1，试回答以下问题：

（1）f(x)在区间[-2,0]上的最小值为多少？

（2）f(x)的单调区间是什么？

【答案】

（1）f'(x)=3x^2+6x+3，令f'(x)=0，得x=-1，f(-1)=-2，所以f(x)在区间[-2,0]上的最小值为-2。

（2）f'(x)=3x^2+6x+3>0，所以f(x)在整个实数轴上单调递增。