在北京开私人口腔诊所需要以下条件和手续：

1. 取得医疗机构执业许可证：需要在北京市卫生健康委员会申请，提交相关材料，包括医疗机构执业许可证申请表、医疗机构规划布局图、医疗机构负责人、医疗技术人员和行政人员的资格证书等。

2. 注册公司：需要在北京市工商行政管理局注册一家有限责任公司。

3. 租赁场地：需要在北京市房屋租赁管理部门租赁合法的诊所场地。

4. 聘请医生：需要聘请具有合法执业证书的口腔医生。

5. 购置设备：需要购置符合国家标准的口腔诊疗设备。

6. 缴纳社会保险：需要为聘用的医生和员工缴纳社会保险。

7. 安全环境：需要保证诊所内的安全环境，包括消防安全、卫生安全和医疗安全等。

8. 其他手续：根据实际情况可能需要申请相关许可证、执照等。