作为监理工程师，在发现甲方私自更改设计图纸，尤其是基础部位时，应该严格按照以下步骤处理：

1. 确认更改：
首先，需要确认更改是否确实发生，以及更改的具体内容。可以通过比对原始图纸和现场情况来进行确认。

2. 立即记录：
对更改进行详细的书面记录，包括更改的日期、时间、涉及的部位、更改前后的对比等，并拍照留证。

:记录时请注意：
- 确保记录的准确性和及时性。
- 保留所有相关文件和通信记录。

3. 评估影响：
评估更改对工程的质量、安全、进度以及成本可能产生的影响。必要时，邀请专家进行分析。

4. 通知相关方：
及时向项目管理方、设计方、施工方等相关单位通报更改情况，并要求甲方提供变更的正式文件和理由。

5. 遵守程序：
促使甲方按照正规变更流程提交设计变更申请，包括但不限于：
- 变更申请报告。
- 设计方提供的变更图纸。
- 相关技术论证和风险评估报告。

6. 审核变更：
组织专业团队对变更内容进行审核，确保变更符合国家相关法律法规和技术标准。

7. 严格执行：
一旦变更获得批准，要求施工方严格按照变更后的图纸施工，并监督执行过程，确保工程质量和安全。

8. 法律手段：
如果甲方拒绝提供正式变更文件或变更违反了相关法律法规，应采取法律手段保护自身权益，并及时报告上级监管部门。

总结：
在处理甲方私自更改设计图纸的问题时，监理工程师需要保持专业、客观和公正，确保变更的合规性，同时保护工程的质量和所有相关方的利益。

请注意，上述建议是基于一般情况提供的，具体情况可能会有所不同，建议在处理时结合实际情况和法律法规进行操作。希望这些信息能够帮助你解决问题。