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声波的传播和衰减

一、声波在空气中的传播和衰减

1、声波方程

声振动必须满足三个基本的物理定律，即牛顿第一定律、质量守恒定律以及描述压强、温度、体积等状态参数的状态方程。应用这三个定律可以推导出声波传播中的连续性方程、运动方程和物态方程，并进一步得到波动方程和对时间空间坐标的偏微分方程。并作如下假设：①媒质为理想流体，即媒质中不存在黏滞性，声波传播时没有能量损失;②没有声扰动时，媒质在宏观上是静止的、均匀的，因此媒质中静压强 、静态密度 都是常数;③声波传播时，媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的;④假设是小振幅声波。

上述假设称为理想流体媒质小振幅假定。可以分别推导连续性方程、运动方程和物态方程。

(1)连续性方程：是物质不灭定律在流体运动描述中的数学应用。对体积元 ，单位时间流入 的质量与流出 的质量之差等于该体积元内质量的变化率。由此可得体积元 在x、y、z方向上质量的增量。

(2)运动方程

运动方程是声压对于距离的梯度等于媒质密度和质点振动速度乘积的负值。在声场中取一体积元 ，当有声波作用于体积元上，各方向的压强将发生变化。设体积元在静止时的压强为 ，密度为 ，声波产生的瞬时声压为 ，因体积元足够小，可认为作用在各面的压力均匀。由于是小振幅声波，其密度的变化可忽略，即可得声波在这三个方向产生的加速度为——瞬时声压，Pa ——质点振动速度在三个方向上的分量。

(3)物态方程

媒质在声波作用下，引起压缩、膨胀的交替变化，媒质的密度和压强都发生了变化，即媒质的状态发生了变化。声波传播时，理想状态下媒质的密度发生变化，而没有能量的损耗，即为等熵绝热过程。

(4)波动方程

联立理想液体媒质中三个基本方程：连续方程式、运动方程式和物态方程式，可推出理想液体媒质中小振幅传播的任意变量的波动方程。

声压波动方程： 密度波动方程： 振速波动方程： 波动方程分别反映了声压、密度、振速随时空变化的关系。

推导波动方程时，只是从媒质的基本特性出发，利用牛顿第二定律、物质守恒定律和绝热压缩方程，并未涉及声源及声场的具体情况，因此波动方程只反映声波在媒质传播过程的一般物理特性。

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