题目：已知正方形ABCD的边长为2，点P在正方形中，且∠APB=45°，∠BPC=30°，求AP的长度。

解法：

首先，我们可以通过画图来观察这个问题。如下图所示：


我们可以发现，三角形APB和三角形BPC都是等腰直角三角形，因此可以得到：

$$\begin{cases}AP=BP\\BP=PC\end{cases}$$

又因为∠APB=45°，所以可以得到：

$$\begin{aligned}& an{45^\circ}=\frac{AP}{BP}\\ \Rightarrow& AP=BP=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\end{aligned}$$

接下来，我们需要求出PC的长度。因为∠BPC=30°，所以可以得到：

$$\begin{aligned}& an{30^\circ}=\frac{PC}{BP}\\ \Rightarrow& PC=BP an{30^\circ}=\sqrt{3}\end{aligned}$$

最后，我们可以得到AP的长度：

$$AP=BP=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

因此，AP的长度为$\sqrt{2}$。