2的n次方减1，能够整除2019，求n的最小值。小学奥数题太难了，求助。
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要过程简单一点容易理解的方法
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首先，我们可以列出 $2^n-1$ 的前几个数：
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 \\ 2^2-1 &= 3 \\ 2^3-1 &= 7 \\ 2^4-1 &= 15 \\ 2^5-1 &= 31 \\ 2^6-1 &= 63 \\ 2^7-1 &= 127 \\ 2^8-1 &= 255 \\ 2^9-1 &= 511 \\ 2^{10}-1 &= 1023 \\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 的结果都是形如 $1111\cdots111$ 的二进制数，其中有 $n$ 个 $1$。也就是说，$2^n-1$ 是 $n$ 位二进制数中所有位都是 $1$ 的数。
接下来，我们来看一下 $2019$ 的因数。$2019=3\times673$，所以 $2019$ 的因数只有 $1,3,673,2019$。我们希望找到一个 $n$，使得 $2^n-1$ 能够整除 $2019$。
如果 $2^n-1$ 能够整除 $2019$，那么 $2^n-1$ 的因数一定是 $1,3,673,2019$ 中的一个。我们可以试着将 $2^n-1$ 分解质因数，看看它的因子是否在这个列表中。
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 \\ 2^2-1 &= 3 \\ 2^3-1 &= 7 \\ 2^4-1 &= 15 \\ 2^5-1 &= 31 \\ 2^6-1 &= 63 \\ 2^7-1 &= 127 \\ 2^8-1 &= 255 \\ 2^9-1 &= 511 \\ 2^{10}-1 &= 1023 \\ 2^{11}-1 &= 2047 \\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 在 $n=11$ 的时候首次超过 $2019$。因此，我们只需要检查 $n$ 在 $1$ 到 $10$ 之间的情况。
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 &\not\mid 2019\\ 2^2-1 &= 3 &\not\mid 2019\\ 2^3-1 &= 7 &\not\mid 2019\\ 2^4-1 &= 15 &\not\mid 2019\\ 2^5-1 &= 31 &\not\mid 2019\\ 2^6-1 &= 63 &\not\mid 2019\\ 2^7-1 &= 127 &\not\mid 2019\\ 2^8-1 &= 255 &\not\mid 2019\\ 2^9-1 &= 511 &\not\mid 2019\\ 2^{10}-1 &= 1023 &\not\mid 2019\\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 都不能整除 $2019$。因此，$n=11$ 是满足条件的最小值。
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 \\ 2^2-1 &= 3 \\ 2^3-1 &= 7 \\ 2^4-1 &= 15 \\ 2^5-1 &= 31 \\ 2^6-1 &= 63 \\ 2^7-1 &= 127 \\ 2^8-1 &= 255 \\ 2^9-1 &= 511 \\ 2^{10}-1 &= 1023 \\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 的结果都是形如 $1111\cdots111$ 的二进制数，其中有 $n$ 个 $1$。也就是说，$2^n-1$ 是 $n$ 位二进制数中所有位都是 $1$ 的数。
接下来，我们来看一下 $2019$ 的因数。$2019=3\times673$，所以 $2019$ 的因数只有 $1,3,673,2019$。我们希望找到一个 $n$，使得 $2^n-1$ 能够整除 $2019$。
如果 $2^n-1$ 能够整除 $2019$，那么 $2^n-1$ 的因数一定是 $1,3,673,2019$ 中的一个。我们可以试着将 $2^n-1$ 分解质因数，看看它的因子是否在这个列表中。
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 \\ 2^2-1 &= 3 \\ 2^3-1 &= 7 \\ 2^4-1 &= 15 \\ 2^5-1 &= 31 \\ 2^6-1 &= 63 \\ 2^7-1 &= 127 \\ 2^8-1 &= 255 \\ 2^9-1 &= 511 \\ 2^{10}-1 &= 1023 \\ 2^{11}-1 &= 2047 \\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 在 $n=11$ 的时候首次超过 $2019$。因此，我们只需要检查 $n$ 在 $1$ 到 $10$ 之间的情况。
$$\begin{aligned} 2^1-1 &= 1 &\not\mid 2019\\ 2^2-1 &= 3 &\not\mid 2019\\ 2^3-1 &= 7 &\not\mid 2019\\ 2^4-1 &= 15 &\not\mid 2019\\ 2^5-1 &= 31 &\not\mid 2019\\ 2^6-1 &= 63 &\not\mid 2019\\ 2^7-1 &= 127 &\not\mid 2019\\ 2^8-1 &= 255 &\not\mid 2019\\ 2^9-1 &= 511 &\not\mid 2019\\ 2^{10}-1 &= 1023 &\not\mid 2019\\ \end{aligned}$$
我们发现，$2^n-1$ 都不能整除 $2019$。因此，$n=11$ 是满足条件的最小值。
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