1. 在一次回归分析中，样本容量为20，自变量X的平均数为10，标准差为2，因变量Y的平均数为30，标准差为4，回归方程为Y = 5 + 2X。求样本相关系数r和决定系数R²。

解：样本相关系数r的计算公式为：

r = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / [√(Σ(Xi - X̄)²) √(Σ(Yi - Ȳ)²)]

其中，Xi和Yi分别表示第i个样本点的自变量和因变量取值，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的样本平均数。

代入数据得：

r = Σ[(Xi - 10)(Yi - 30)] / [√(Σ(Xi - 10)²) √(Σ(Yi - 30)²)]
= [(8-10)×(28-30)+(9-10)×(31-30)+...+(12-10)×(32-30)] / [√(Σ(Xi - 10)²) √(Σ(Yi - 30)²)]
= 1 / [2×2×√10×4]
≈ 0.158

决定系数R²的计算公式为：

R² = SSR / SST

其中，SSR表示回归平方和，SST表示总平方和。回归平方和反映自变量对因变量的解释程度，总平方和反映因变量的变异程度。

代入数据得：

SSR = Σ(Yi - Ŷ)² = Σ(Yi - 5 - 2Xi)²
= (28-23)² + (31-27)² + ... + (32-29)²
≈ 61.6

SST = Σ(Yi - Ȳ)² = Σ(Yi - 30)²
= (28-30)² + (31-30)² + ... + (32-30)²
≈ 160

故R² = SSR / SST ≈ 0.385

2. 在一次回归分析中，自变量X和因变量Y的样本数据如下表所示。求回归方程、样本相关系数r和决定系数R²，并判断回归方程的拟合程度。

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

解：回归方程的一般形式为：

Y = β0 + β1X + ε

其中，β0和β1分别为截距和斜率，ε为误差项。回归方程的求解需要先计算样本均值、标准差、协方差和相关系数。

样本均值：X̄ = (1+2+...+10) / 10 = 5.5，Ȳ = (3+6+...+30) / 10 = 16.5

样本标准差：sX = √[Σ(Xi - X̄)² / (n-1)] ≈ 2.87，sY = √[Σ(Yi - Ȳ)² / (n-1)] ≈ 8.66

样本协方差：sXY = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / (n-1) ≈ 28.5

样本相关系数：r = sXY / (sXsY) ≈ 1

回归方程的斜率和截距分别为：

β1 = sXY / sX² ≈ 1，β0 = Ȳ - β1X̄ ≈ 11

故回归方程为Y = 11 + X。

决定系数R²为：

R² = r² ≈ 1

由于样本相关系数和决定系数均为1，说明回归方程完全拟合样本数据，即所有观测点都在回归直线上，误差项为0。