由题意可得，$x,y,z$ 均为正整数且 $x+y+z=2019$，要求 $x,y,z$ 中至少有一个数不小于 $671$。

不妨设 $x\le y\le z$，则有 $z\ge 673$。

对于 $x+y+z=2019$，根据插板法，我们可以用 $2018$ 个小球和 $2$ 个隔板来表示，其中第一个隔板左边的小球数即为 $x$，第二个隔板左边的小球数即为 $y$，右边的小球数即为 $z$。因此，问题转化为求出有多少种插板方案满足 $x\le y\le z\ge 673$。

设 $t=z-673$，则 $x+y+t=1346$，且 $x,y,t$ 均为非负整数。根据插板法，我们可以用 $1345$ 个小球和 $2$ 个隔板来表示，其中第一个隔板左边的小球数即为 $x$，第二个隔板左边的小球数即为 $y$，右边的小球数即为 $t$。因此，共有 $\binom{1347}{2}$ 种插板方案。

然而，上述方案中包含了 $x=y$ 的情况，这显然与 $x\le y$ 矛盾。因此，我们要减去这种情况。

当 $x=y$ 时，$x+y+t=1346$ 变为 $2x+t=1346$。由于 $x\le y\le z$，因此 $x\le \frac{1}{3}(x+y+z)=\frac{1}{3} imes 2019<673$。又因为 $x$ 是正整数，所以 $x\le 672$。设 $s=t-2x$，则 $s$ 是非负整数，且 $t=2x+s$。因此，$2x+s=1346$，即 $s$ 为偶数，且 $0\le s\le 1346-2 imes 672=2$。因此，$s$ 只有 $3$ 种可能：$0,2$ 或 $4$。

当 $s=0$ 时，$t=2x$，此时 $z=673+t=673+2x\ge 673+2 imes 1=675$。根据插板法，此时有 $\binom{1346}{2}$ 种方案。

当 $s=2$ 时，$t=2x+2$，此时 $z=673+t=673+2x+2\ge 673+2 imes 2=677$。根据插板法，此时有 $\binom{1345}{1}$ 种方案。

当 $s=4$ 时，$t=2x+4$，此时 $z=673+t=673+2x+4\ge 673+2 imes 3=679$。根据插板法，此时有 $\binom{1344}{0}$ 种方案。

综上所述，$x,y,z$ 中至少有一个数不小于 $671$ 的插板方案数为
$$
\binom{1347}{2}-\left(\binom{672}{2}+\binom{1346}{2}+\binom{1345}{1}+\binom{1344}{0}ight)=\boxed{907503}.
$$