私募基金管理机构等资产管理机构参与公募基金管理业务的途径主要包括以下几种：

1. 设立公募基金子公司：根据中国证监会规定，私募基金管理机构可以设立公募基金子公司，通过子公司开展公募基金管理业务。子公司需符合相关法律法规要求，具备一定的资本实力和良好的风险控制能力。

2. 与现有公募基金公司合作：私募基金管理机构可以与现有的公募基金公司建立合作关系，共同发起设立公募基金产品。在此过程中，私募基金管理机构可以担任基金的投资顾问或基金经理，参与公募基金的管理。

3. 转型为公募基金公司：符合条件的私募基金管理机构可以选择转型为公募基金公司，直接从事公募基金管理业务。这需要满足证监会的相关规定，包括注册资本、管理人员、业务规模等方面的要求。

4. 参与基金管理公司并购：私募基金管理机构可以通过参与基金管理公司的并购，间接进入公募基金管理业务。这种方式可以使私募基金管理机构快速扩大业务规模，提高市场影响力。

注意事项：

1. 符合监管要求：私募基金管理机构在参与公募基金管理业务时，应确保自身及合作方符合证监会的监管要求，遵守相关法律法规。

2. 风险控制：在开展公募基金管理业务过程中，私募基金管理机构应注重风险控制，确保基金投资者的利益不受损失。

3. 专业团队：私募基金管理机构应组建专业的公募基金管理团队，提高基金管理能力和投资业绩。

4. 品牌建设：私募基金管理机构在参与公募基金管理业务时，应加强品牌建设，提高市场认可度。

综上所述，私募基金管理机构等资产管理机构参与公募基金管理业务的途径多样，但需注意符合监管要求、风险控制、专业团队和品牌建设等方面。希望以上内容能对您有所帮助。如有其他问题，欢迎随时提问。祝您工作顺利！