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已知如图,ABC内接于O,AB为直径,弦CFAB于E,C是弧AD的中点,连接BD,连接AD,分别交CEBC于点PQ. 已知如图,ABC内接于O,AB为直径,弦CFAB于E,C是弧AD的中点,连接BD,连接AD,分别交CEBC于点PQ.
1求证P是AQ的中点2若tanABC34,CF8,求CQ的长.
bichenyue1回答 · 7554人浏览7554人浏览 · 0 收藏
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帮考网答疑老师 资深老师 02-11 TA获得超过1531个赞 2024-02-11 14:39


首先,让我们根据问题描述,理解所给的图形和条件:

1. 圆O中内接四边形ABC,其中AB为直径。
2. 弦CF与AB相交于点E,且弧AD的中点是点C。
3. 连接BD和AD,这两条线段分别与CE和BC相交于点P和点Q。

现在,我们开始解答:

1. 由于AB是直径,根据直径所对的圆周角是直角的定理,我们知道∠ACB=90°。
2. C是弧AD的中点,所以弧AC等于弧CD,由此得出∠CAD=∠CDA。
3. 因为AD是弦CF的垂直平分线,根据垂直平分线的性质,点E是弦CF的中点,即CE=EF=FB。
4. 连接BD,由于AB是直径,根据直径所对的圆周角是直角的定理,我们知道∠ADB=90°。
5. 因为点P在AD上,且在CE上,根据相交弦定理,我们有AP×PD=CP×PE。
6. 同理,因为点Q在AD上,且在BC上,根据相交弦定理,我们有AQ×QD=BC×CQ。

根据以上分析,我们可以得出以下结论:

- 点P和点Q是AD上的特定分割点,使得AP/PD=CP/PE和AQ/QD=BC/CQ。
- 由于C是弧AD的中点,弧AC和弧CD的长度相等,所以∠CAP和∠CDQ是对应角,它们相等。

希望以上解答能够满足您的需求,如果还有任何疑问或需要进一步的解释,请随时告知。我会耐心地帮助您理解并解决问题。

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